Préparez les pommes et le four : Préchauffez le four à 180°C. Épluchez et coupez deux pommes en dés, et la troisième en fines lamelles pour la décoration. Mélangez les dés de pommes avec le sucre roux, la cannelle et le rhum (ou le jus de citron).
Travaillez le beurre et le sucre : Dans un grand bol, crémez le beurre ramolli avec le sucre jusqu'à obtenir un mélange pâle et mousseux.
Ajoutez les œufs : Incorporez les œufs un à un, en mélangeant bien après chaque ajout. Ajoutez l'extrait de vanille et le lait.
Incorporez les ingrédients secs : Dans un autre bol, mélangez la poudre d'amande, la farine, la levure chimique et le sel. Incorporez ce mélange sec au mélange crémeux en deux fois, mélangeant juste assez pour obtenir une pâte homogène.
Assemblez et cuisez : Incorporez délicatement les dés de pommes à la pâte. Versez la pâte dans un moule à manqué de 22 cm beurré et fariné. Disposez les lamelles de pommes sur le dessus. Enfournez pour 40 à 50 minutes. Le gâteau est prêt lorsque la pointe d'un couteau ressort sèche.
Refroidissement : Laissez le gâteau refroidir 10 minutes dans le moule avant de le démouler sur une grille.